Consideriamo un corpo di massa \(m\) che cade verticalmente. Scegliamo come verso positivo quello diretto verso il basso.
Sul corpo agiscono due forze:
Poiché abbiamo scelto come positivo il verso verso il basso, la forza resistente ha segno negativo. La forza risultante è quindi \[ F_{\mathrm{ris}} = mg-kv. \]
Applicando la seconda legge della dinamica otteniamo l'equazione differenziale che descrive il moto: \[ m\frac{dv}{dt}=mg-kv. \]
All'istante iniziale il corpo viene lasciato cadere da fermo: \[ v(0)=0. \] La forza resistente è quindi inizialmente nulla e il corpo accelera sotto l'azione della forza peso.
Aumentando la velocità aumenta anche la forza resistente. Di conseguenza la forza risultante diminuisce e l'accelerazione diventa progressivamente più piccola.
A un certo punto la forza resistente può diventare uguale alla forza peso: \[ mg=kv. \]
In questa situazione la forza risultante è nulla: \[ F_{\mathrm{ris}}=0 \] e quindi anche l'accelerazione è nulla.
Il corpo continua allora a cadere con velocità costante, detta velocità limite: \[ \boxed{v_{\mathrm{lim}}=\frac{mg}{k}}. \]
Per un corpo lasciato cadere da fermo, la soluzione dell'equazione del moto è: \[ \boxed{ v(t)=\frac{mg}{k} \left(1-e^{-\frac{k}{m}t}\right) }. \]
La velocità cresce rapidamente all'inizio, ma la sua crescita rallenta progressivamente. Per tempi molto lunghi la velocità si avvicina alla velocità limite senza superarla.
Se trascuriamo completamente la resistenza dell'aria, l'unica forza agente è la forza peso. L'accelerazione è allora costante e vale \(g\). Partendo da fermo: \[ \boxed{v(t)=gt}. \]
Nel grafico è possibile visualizzare contemporaneamente i due modelli. La curva della caduta ideale continua a crescere linearmente, mentre quella con resistenza dell'aria tende alla velocità limite.