Consideriamo una barretta conduttrice di massa \(m\) e lunghezza \(L\), che scivola senza attrito lungo due binari verticali conduttori. I binari sono collegati in alto da un resistore di resistenza \(R\). Il circuito si trova in un campo magnetico uniforme \(\vec B\), perpendicolare al piano della pagina.
Scegliamo come verso positivo quello diretto verso il basso. Sulla barretta agiscono la forza peso e la forza magnetica dovuta alla corrente indotta. La corrente è tale che la forza magnetica si oppone alla caduta, in accordo con la legge di Lenz.
Quando la barretta si muove con velocità \(v\), l'area del circuito cambia e varia il flusso del campo magnetico. In modulo, la forza elettromotrice indotta è \[ |\mathcal E|=BLv. \] Trascurando la resistenza elettrica dei binari e della barretta, la resistenza totale del circuito coincide con \(R\). Dalla legge di Ohm segue quindi \[ I=\frac{|\mathcal E|}{R}=\frac{BLv}{R}. \]
Un conduttore percorso da corrente, immerso in un campo magnetico, subisce una forza magnetica. Nel caso in esame il suo modulo è \[ F_m=BIL. \] Sostituendo l'espressione della corrente si ottiene \[ \boxed{F_m=\frac{B^2L^2}{R}v}. \] La forza è diretta verso l'alto durante la caduta, indipendentemente dal fatto che il campo magnetico sia entrante o uscente dalla pagina. Invertendo il campo si inverte il verso della corrente indotta, ma anche il verso della forza magnetica cambia, così da continuare a opporsi al moto.
Applicando la seconda legge della dinamica lungo la direzione verticale, con verso positivo verso il basso: \[ m\frac{dv}{dt}=mg-\frac{B^2L^2}{R}v. \] L'equazione ha la stessa forma di quella di un corpo soggetto a una forza resistente proporzionale alla velocità. Il coefficiente frenante equivalente è \[ \boxed{k_{\mathrm{mag}}=\frac{B^2L^2}{R}}. \]
La velocità limite si raggiunge quando la forza magnetica equilibra la forza peso: \[ mg=\frac{B^2L^2}{R}v_l. \] Pertanto \[ \boxed{v_l=\frac{mgR}{B^2L^2}}. \] In questa condizione la forza risultante è nulla e l'accelerazione diventa zero. Nel modello ideale la barretta continua a scendere a velocità costante.
L'equazione del moto è \[ m\frac{dv}{dt}=mg-\frac{B^2L^2}{R}v. \] Introduciamo due grandezze caratteristiche del sistema.
La velocità limite \(v_l\) è il valore della velocità per cui la forza magnetica equilibra la forza peso: \[ mg=\frac{B^2L^2}{R}v_l. \] Da cui \[ \boxed{v_l=\frac{mgR}{B^2L^2}}. \]
La costante di tempo \(\tau\) è definita come \[ \boxed{\tau=\frac{mR}{B^2L^2}}. \] Essa ha le dimensioni di un tempo e caratterizza la rapidità con cui la velocità si avvicina al valore limite.
Con queste definizioni, l'equazione del moto si può scrivere nella forma \[ \frac{dv}{dt}=\frac{v_l-v}{\tau}. \] Se la barretta viene lasciata cadere da ferma, con \(v(0)=0\), la soluzione è \[ \boxed{v(t)=v_l\left(1-e^{-t/\tau}\right)}. \]
La velocità cresce inizialmente in modo rapido, poi sempre più lentamente, tendendo asintoticamente a \(v_l\). Dopo un tempo pari a \(\tau\), la velocità raggiunge circa il 63% della velocità limite: \[ v(\tau)=v_l(1-e^{-1})\approx0{,}632\,v_l. \] La costante di tempo non è quindi il tempo necessario per raggiungere esattamente la velocità limite, che nel modello ideale viene avvicinata asintoticamente.
Il grafico mostra la velocità istantanea e la velocità limite. Il cursore verticale permette di leggere l'evoluzione del moto durante la simulazione.