Il moto circolare uniforme
Un moto è detto circolare se la traiettoria è una circonferenza (o equivalentemente, il raggio di curvatura \( R \) della traiettoria è costante).
Un moto circolare è uniforme se il modulo della velocità \( v \) è costante.
Se \( v \) è costante, allora la derivata prima rispetto al tempo della coordinata curvilinea \( s \) è costante. Inoltre, poiché \( s = R\theta\), anche la derivata prima rispetto al tempo dell’angolo \( \theta \) è costante. In simboli:
$$ v \ \mbox{costante} \ \Longleftrightarrow \ \frac{ds}{dt} \ \mbox{costante} \ \Longleftrightarrow \ \frac{d \theta}{dt} \ \mbox {costante} $$
La velocità angolare
Si definisce velocità angolare istantanea la grandezza:
$$ \omega= \frac{d \theta}{dt} $$
La sua unità di misura nel Sistema Internazionale sono i radianti al secondo, in simboli rad/s.
Per la definizione di angoli in radianti \( ds = R d\theta \), quindi possiamo scrivere la relazione che lega il modulo della velocità \(v\) alla velocità angolare \(\omega\):
$$v = \frac{ds}{dt} = R \frac{d\theta}{dt} = R \omega$$
Indicando con \(\hat{u}_T\) il versore tangente alla traiettoria e con \(\hat{u}_N\) il versore normale alla traiettoria, possiamo scrivere i vettori velocità \(\vec{v}\) e accelerazione \(\vec{a}\) in termini della velocità angolare \(\omega \):
$$\vec{v} = v \hat{u}_T = R \omega \hat{u}_T$$
$$\vec{a} = \frac{v^2}{R} \hat{u}_N = R\omega^2 \hat{u}_N$$
Per determinare l’angolo spazzato durante il moto in un intervallo di tempo \(\Delta t = t_2-t_1\) utilizziamo il calcolo integrale:
$$\Delta \theta = \int_{t_1}^{t_2} \omega dt = \omega \int_{t_1}^{t_2} dt = \omega (t_2-t_1) = \omega \Delta t$$
dove abbiamo potuto “tirar fuori dall’integrale” la \( \omega \) perché, per ipotesi, \( \omega \) è costante.
Se indichiamo con \(\theta_0\) la posizione angolare all’istante di tempo iniziale \( t_0\), allora possiamo esprimere la posizione angolare in funzione del tempo mediante la relazione lineare
$$\theta(t) = \theta_0 + \omega(t-t_0)$$
Nel caso in cui \( t_0 = 0 \) allora la legge oraria si semplifica in:
$$\theta(t) = \theta_0 + \omega t$$
Periodo e frequenza
Un periodo è l’intervallo di tempo impiegato a compiere un giro completo.
L’angolo spazzato è quindi di \( 2\pi \) radianti (ovvero \( 360° \) ). Se consideriamo la relazione \( \Delta \theta = \omega \Delta t \) in questo caso particolare otteniamo:
$$2\pi = \omega T \ \Longrightarrow \ T=\frac{2\pi}{\omega}$$
Si chiama frequenza il numero di giri nell’unità di tempo. La frequenza è il reciproco del periodo:
$$f=\frac{1}{T}$$
Spesso la frequenza è indicata con la lettera greca \( \nu\). La sua unità di misura nel Sistema Internazionale è l’hertz, simbolo Hz, definito come
$$1 \ \mbox{Hz} = 1 \ s^{-1}$$
Considerando la relazione tra periodo e velocità angolare \( T=\frac{2\pi}{\omega} \), possiamo scrivere la relazione tra frequenza e velocità angolare:
$$ f=\frac{\omega}{2\pi} $$